Question

高数下题目，如图所示：

Answer 1

Answer 2

三.1.Σ(n=1→∞) (－1)^n · x^n /n
令u(x)=Σ(n=1→∞) (－1)^n · x^n /n
u'(x)=Σ(n=1→∞) (－1)^n · x^(n－1)
=1/x ·Σ(n=1→∞) (－x)^n
=1/x ·[1/(1＋x)－1]
=－1/(1＋x)
u(x)=∫(0，x) －1/(1＋t)dt
=－ln(1＋t) |(0，x)
=－ln(1＋x)
2.求条件极值可以运用拉格朗日乘数法
令F(x，y，z，λ)=ln(xyz³)＋λ(x²＋y²＋z²－5R²)
(x＞0，y＞0，z＞0)
F'x=1/x＋2λx=0 →1＋2λx²=0 ①
F'y=1/y＋2λy=0 →1＋2λy²=0 ②
F'z=3/z＋2λz=0 →3＋2λz²=0 ③
F'λ=x²＋y²＋z²－5R²=0 ④
①＋②＋③，再联合④，可得
5＋10R²λ=0，λ=－1/(2R²)
代入①，②，③可得
x=R，y=R，z=∨3 R
所以点M坐标为(R，R，∨3R)
四.补充平面Σ':x²＋y²≤1，z=0，取下侧
则Σ和Σ'可以形成一个封闭曲面，根据高斯公式可得∫∫(Σ＋Σ')=∫∫∫Ω (y²＋z＋x²)dv=∫∫Σ＋∫∫Σ'
∫∫Σ'=0
所以∫∫Σ=∫∫∫Ω (x²＋y²＋z)dv－∫∫Σ'
=∫∫∫Ω (x²＋y²＋z)dv
=∫∫(x²＋y²≤1) dxdy∫(0，3＋x²＋y²) (x²＋y²＋z)dz
=∫∫(x²＋y²≤1) [(x²＋y²)²＋3(x²＋y²)＋1/2 (3＋x²＋y²)²] dxdy
=∫(0，2π) dθ∫(0，1) [r^4＋3r²＋1/2 (r²＋3)²]dr
=2π∫(0，1) (3/2 r^4＋6r²＋9/2)dr
=2π(3/10 r^5＋2r³＋9/2 r)|(0，1)
=2π(3/10＋2＋9/2)
=68π/5