Question

已知函数f（x）=x^2*（x-t）的图像与x轴交于A、B两点，其中t>0

设函数y=f（x）在点p （x0，y0）处的切线的斜率为k，当x∈（0,1]时，k≥-1/2恒成立，求t的最大值。 急求，谢谢。

Answer 1

求导：f(x)导数=3x^2-2tx
当x∈（0,1]时，k≥-1/2恒成立
也就是
当x∈（0,1]时，3x^2-2tx≥-1/2，即
6x^2-4tx+1≥0
令g(x)=6x^2-4tx+1,这是一个开口向上的抛物线，且对称轴为t/3
(t>0,对称轴一定在x轴右边)
1.若对称轴t/3<=1
即t<=3
时,抛物线的顶点就是最低点，也就是最小值
那么根据抛物线顶点坐标，得g(x)最小值=2-(3/2)
*
t^2
所以
2-(3/2)
*
t^2≥0
解得
-2√3
/3
<=
t≤
2√3
/3
而题目给定
t>0
所以，0<
t≤
2√3
/3
,(此时t<=3,满足)
2.若对称轴t/3>1
即t>3时，g(x)最小值为g(1)
那么g(1)=6-4t+1≥0
解得
t<=7/4
(此时不满足t>3)
综合1，2
得：0<
t≤
2√3
/3
所以
t
最大值为：
2√3
/3