Question

极坐标的二重积分，先θ后r好理解，但是先r后θ怎么理解呢？想不通啊

Answer 1

首先，我觉得你这个提问是有点问题的，二重积分中的积分次序，先什么后什么，是根据你计算的次序决定的，而不是先写哪个，就是先，你所说的先θ后r好理解，这种应该是平常最长见到的那种，∫
dθ∫
dr这种，而事实上，这种应该是先r后θ，也就是说，你不懂的，是先θ后r的情况
你想不通，我们就来看看二重积分里直角坐标跟极坐标的共通点，那就是，后积分的那个，它的积分上下限是固定的，是常数，就像你能理解的先r后θ一样，θ的范围是固定的，所以，要先θ后r的积分，第一步要做的，就是固定r，固定r之后，再看θ的范围
其实，极坐标中，这种先θ，后r的情况比较少见，实在不能理解，就先记住好了，给你看一个题
r=2cosθ，这表示的是圆，等式两端同时乘以r，可得r^2=2rcosθ，化为直角坐标就是x^2+y^2=2x
我们先作出积分区域，要先对θ积分，再对r积分，就要先固定r
当r固定时,θ的范围可以画一下,自然需要分成两个区域
当r在虚线以内时,θ下限是-π/4,上限由圆周确定.
当r超过虚线范围时,θ下限和上限都由圆周确定.