Question

微分有什么用

Answer 1

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。
微分应用
法线

我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。

假设函数y=f(x)的图象为曲线，且曲线上有一点(x1,y1)，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线的斜率m：

m=dy/dx在(x1,y1)的值

所以该切线的方程式为：

y-y1=m(x-x1)

由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：

y-y1=(-1/m)(x-x1)

增函数与减函数

微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。

鉴别方法：dy/dx与0进行比较，dy/dx大于0时，说明dx增加为正值时，dy增加为正值，所以函数为增函数；dy/dx小于0时，说明dx增加为正值时，dy增加为负值，所以函数为减函数。

例1：分析函数y=x^2-1 的增减性

∵y=x^2-1

∴dy/dx=2x

当x>0时，dy/dx>0，所以函数y=x^2-1在x>0时是增函数；

当x<0时，dy/dx<0，所以函数y=x^2-1在x<0时是减函数。

变化的速率

微分在日常生活中的应用，就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。

比如说，有一个水箱正在加水，水箱里水的体积V（升）和时间t（秒）的关系为V=5-2/(t+1)，

在t=3时，我们想知道此时水加入的速率，于是我们算出dV/dt=2/(t+1)^2，代入t=3后得出dV/dt=1/8。

所以我们可以得出在加水开始3秒时，水箱里的水的体积以每秒1/8升的速率增加。