Question

设a>0,且a不等于1,如果函数y=a^2x+2a^x-1在【-1，1】上最大值为14，求a 快快快

Answer 1

解.设a^x=t,
则y=t??+2t-1=(t+1)??-2
函数的图像是条开口向上，对称轴为t=-1的抛物线
当0<a<1时，t∈[a,1/a]
根据点离对称轴越远值越大，可知函数的最大值为f(1/a),则有
(1/a+1)??-2=14
解得a=1/3或a=-1/5(略去)
所以此时a=1/3
当a>1时，t∈[1/a,a]
根据点离对称轴越远值越大，可知函数的最大值为f(a),则有
(a+1)??-2=14
解得a=3或a=-5(略去)
所以此时a=3
综上所述，a=1/3或a=3

Answer 2

y=a^(2x)+2a^x-1=(a^x+1)^2-2,f(x)=(a^x+1)^2
0<a<1,f(x)在【-1，1】上递减（因为a^x递减）,所以当x=-1时有最大值,
即[a^(-1)+1]^2-2=14
解得a=1/3或a=-1/5，经检验a=-1/5不合题意，所以a=1/3
a=1时,y=-1，不合题意
a>1,f(x)在【-1，1】上递增（因为a^x递减）,当x=1时有最大值,
即(a+1)^2-2=14,
解得a=3或a=-5，经检验a=-5不合题意，所以a=3
所以a=1/3或a=3
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