Question

已知圆M:X2+(Y-2)2=1,直线L:X-2Y=0,点P在直线上,过点P作圆...

已知圆M:X2+(Y-2)2=1,直线L:X-2Y=0,点P在直线上,过点P作圆M的切线PA、PB,切点为A 已知圆M:X2+(Y-2)2=1,直线L:X-2Y=0,点P在直线上，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B （1）若∠APB=60°，试求点P的坐标 （2)若点P的坐标为（2，1），过点P做直线与圆M交于C、D两点，当CD=根号2时，求直线CD方程。 （3）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标

Answer 1

(1)∠APM=∠MPB=(1/2)∠APB=60°/2=30°MA⊥AP,MA=1,|MA|/|MP|=sin∠APM=sin30°=1/2,|MP|=2|MA|=2M(0,2),设P(2y0,y0)(P在直线L:X-2Y=0上),则|MP|=√{[2(y0)-0]^2+[(y0)-2]^2}=2,5(y0)^2-4(y0)=0,y0=0或y0=4/5P的坐标为(0,0),或(8/5,4/5)(2)设CD中点为N,则N平分CD且MN⊥CD,|MD|=1,|ND|=(1/2)|CD|=(√2)/2,由勾股定理得|MN|=√(|MD|^2-|ND|^2)=(√2)/2设直线CD方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,圆心M(0,2)到直线CD的距离|MN|=(√2)/2由点到直线距离公式得|MN|=|k*0-2+1-2k|/√[(k^2)+1]=(√2)/2,|1+2k|/√[(k^2)+1]=(√2)/2,7(k^2)+8k+1=0k=-1或k=-1/7直线CD方程为y-1=-(x-2)或y-1=-(1/7)(x-2)即x+y-3=0或x+7y-9=0(3)显然经过A、P、M三点的圆必过定点M(0,2),因为MA⊥AP,所以过A、P、M三点的圆的圆心为MP中点,圆直径为MP过M作MQ⊥直线L,垂足为Q,则过A、P、M三点的圆必过定点Q设Q(2y0,y0)(Q在直线L:X-2Y=0上),直线L:X-2Y=0斜率为1/2,则直线MQ斜率为[(y0)-2]/[2(y0)-0]=-2,y0=2/5,Q坐标为(4/5,2/5)即点P在直线运动时,经过A、P、M三点的圆必过定点M(0,2)和Q(4/5,2/5)