Question

已知sinθ+sinθ=1,求3cosθ＋cos－2sinθ＋1的值

已知sinθ+sinθ=1,求3cosθ＋cos－2sinθ＋1的值

Answer 1

1.[转化思想,化繁为简]
f(x)=
cosθsinx-sin(x-θ)+(tanθ-2)sinx-sinθ
=
cosθsinx-(cosθsinx-sinθcosx)+(tanθ-2)sinx-sinθ
=
sinθcosx+(tanθ-2)sinx-sinθ
2.f(-x)=
sinθcos(-x)+
(tanθ-2)sin(-x)-
sinθ
=
sinθcosx
-
(tanθ-2)sin(-x)-
sinθ
∵
f(x)是偶函数,∴
f(-x)=f(x)
sinθcosx
+
(tanθ-2)sinx
-
sinθ=
sinθcosx
-
(tanθ-2)sin(-x)-
sinθ
(tanθ-2)sinx
=
-
(tanθ-2)sin(-x)
∴2(tanθ-2)sinx
=0
∴(tanθ-2)sinx
=0
∴f(x)=sinθcosx-sinθ=sinθ(cosx-1)
[第2步,小题中也可因为f(x)是偶函数,所以应不包含含有奇函数sinx的项,直接得结论]
最小值min[f(x)]=sinθ(cosx-1)=0
①一种情况下sinθ=0
则f(x)≡0,最大值max[f(x)=0],x∈R
②另一种情况sinθ≠0
则cox-1=0,即cosx=1
设t=cosx∈[-1,1],f(x)=sinθ·cosx-sinθ,f(t)=sinθ·(t-1)
⑴
如果sinθ>0,f(t)是增函数.最小值min[f(t)]=sinθ·(-1-1)=-2sinθ≠0
与题意矛盾,舍去;
⑵
如果sinθ0
此时cosx=-1,x=kπ(k∈Z)