Question

如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是菱形,pa垂直平面abcd,bd交ac

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC交BD于点O，PA⊥面ABCD，E是棱PB的中点．求证： 见图一 （1）EO∥平面PCD； （2）平面PBO⊥平面PAC．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是菱形，AB∩CD=O，
∴O是BD的中点，
又∵E是PB的中点，∴EO是△PBD的中位线，可得EO∥PD． …（2分）
∵EO⊈平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴EO∥平面PCD． …（6分）
（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，…（8分）
又∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（10分）
∵PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC
∴BD⊥平面PAC…（12分）
又∵BD⊂平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC．…（14分）