Question

这种类型的不定积分怎样求？

求大神详细指点。

Answer 1

分子分母都是多项式的积分套路
a）对分母进行因式分解，
分母的实数零点，分解成(x-xi)^k形式
分母的共轭虚数零点，分解成(x^2+ax+b)^k形式，其中x^2+ax+b的根是共轭虚数
b）用待定系数法把分式分解成
对实根部分，分解成ai1/(x-xi) + ai2/(x-xi)^2 +... + aik/(x-xi)^k形式，
对虚根部分，分解成 c1 /(x^2 +bx+c) + c2(2x+b)/(x^2 +bx+c) + c3(2x+b)/(x^2 +bx+c)^2 +...+ck(2x+b)/(x^2 +bx+c)^k形式
这样的和式进行通分在和原来被积函数相等，就可以得到所有待定系数，然后积分就简单了

Answer 2

一般应用换元法求解。
∵x²+x+1=(x+1/2)²+3/4，∴令x+1/2=(√3/2)tanθ，原式=(8√3/9)∫cos²θdθ=(4√3/9)∫(1+cos2θ)dθ=(4√3/9)[θ+(1/2)sin2θ]+C。
∴原式=(4√3/9)arctan[(2x+1)/√3]+(1/3)(2x+1)/(x²+x+1)+C。
供参考。

Answer 3

∫ 1/(x²+x+1)² dx
=∫ 1/[(x+1/2)²+3/4]² dx
令t=x+1/2,dt=dx
=∫ 1/(t²+3/4)² dt
令t=√3/2*tanθ,dt=√3/2*sec²θ dθ
=√3/2*∫ sec²θ/(3/4*tan²θ+3/4)² dθ
=8/(3√3)*∫ cos²θ dθ
=8/(3√3)*1/2*∫ (1+cos2θ) dθ
=4/(3√3)*∫ dθ+4/(3√3)*∫ cos2θdθ
=4/(3√3)*θ+4/(3√3)*1/2*sin2θ+C
=4/(3√3)*θ+4/(3√3)*sinθcosθ+C
=4/(3√3)*arctan(2t/√3)+4/(3√3)*2t/√(4t²+3)*√3/√(4t²+3)+C
=4/(3√3)*arctan(2t/√3)+4/(3√3)*(2√3*t)/(4t²+3)+C
=4/(3√3)*arctan[(2/√3)*(x+1/2)]+4/(3√3)*2√3*(x+1/2)/[4(x+1/2)²+3]+C
=4/(3√3)*arctan[(2x+1)/√3]+4/(3√3)*(2√3*x+√3)/[4(x²+x+1)]+C
=4/(3√3)arctan[(2x+1)/√3]+(1/3)(2x+1)/(x²+x+1)+C

Answer 4

完整详细过程rt所示，希望写的很清楚帮到你