Question

已知函数()如果在区间不单调,求的取值范围;()如果,设函数,求函数的极大值.

已知函数 ()如果在区间不单调,求的取值范围; ()如果,设函数,求函数的极大值.

Answer 1

求出函数的导函数,将导函数的分子看成一个函数,将在区间不单调转化为方程的根的分布问题,结合二次函数的图象写出限制条件求出的范围.
求出的导函数,通过对导函数的两个根大小的讨论判断出导函数的符号,进一步判断出函数的单调性,根据极值的定义求出函数的极大值.
解:(
设的两个根为,
由韦达定理得
在区间不单调
在区间上有且仅有一个根,另一个根小于
则
即
解得
当时,函数无极值
当时,在上,,单调递增,
在上,,单调递减
在时,,单调递增
当时,取得极大值为
当时,函数在区间和上是增函数,在区间是减函数
所以函数的极大值为
解决函数在某区间不单调问题常转化为在区间函数有极值;求函数的极值问题,一般求出导函数,令导函数为,判断根左右两边的导函数符号,求出极值,若含参数时,一般要讨论.