Question

证明不等式：当x＞0时，e^x ＞1+x+x^2/2

1. 证明不等式：当x＞0时，ex ＞1+x+x2/2

Answer 1

证明：令f(x)=e^x-(1+x+x^2/2),则有
f'(x)=e^x-(x+1)
f''(x)=e^x-1
易知f''(x)在R上单调递增函数。
所以，当x>0时，f''(x)>f''(0)=0,则f'(x)在（0,+∞)上是单调递增的；
则有f'(x)>f'(0)=0，推出f(x)在（0,+∞)上也是单调递增的；所以有f(x)>f(0)=0,即e^x-(1+x+x^2/2)>0,所以当x＞0时，证明不等式e^x＞1+x+x^2/2成立。