Question

定义域和值域是什么

Answer 1

值域和定义域的区别：定义域是函数的自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。



1求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；

3、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；

4、分段函数的定义域是各个区间的并集；

5、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；

6、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域。

2求函数的值域
1．观察法

用于简单的解析式。

y=1-√x≤1，值域(-∞,1]

y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1，值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).

2．配方法

多用于二次(型)函数。

y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1，值域[-1,+∞）

y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7，值域[-7,+∞）

3．换元法

多用于复合型函数。

通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。特别注意中间变量（新量）的变化范围。

4．不等式法

用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。

5．最值法

如果函数f(x)存在最大值M和最小值m，那么值域为[m,M]。

因此，求值域的方法与求最值的方法是相通的。

6．反函数法（又叫反解法）

函数和它的反函数的定义域与值域互换。

如果一个函数的值域不易求，而它的反函数的定义域易求，那么我们可以通过求后者得出前者。

7．单调性法

若f(x)在定义域[a,b]上是增函数，则值域为[f(a),f(b)]；若是减函数，则值域为[f(b),f(a)]。

y=x^2-4x+3,(-1≤x≤1).

y=(x-2)^2-1在[-1,1]上是减函数（单调递减）,

F(-1)=8，f(1)=0，值域[0,8].

8．斜率法，数形结合。

9．导数法

导数为零的点称为驻点，设f'(x0)=0，

若当x<x0时f'(x)<0，当x>x0时f'(x)>0，则f(x0)为极小值；

若当x<x0时f'(x)>0，当x>x0时f'(x)<0，则f(x0)为极大值；

再根据定义域求得边界值，与之比较得出最大、最小值（与最值法相通），得出值域

Answer 2

定义域和值域是针对“函数”来说的：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f（x）来表示。其中x叫做自变量，y叫做因变量。
函数的自变量(比如x)的取值范围，就是函数的定义域；函数的因变量的取值范围，就是函数的值域！定
义域和值域为：性质不同、主从性不同、范围不同。
一、性质不同
1、定义域：定义域就是自变量的取值范围。
2、值域：值域就是因变量的取值范围。
二、主从性不同
1、定义域：对应法则的作用对象。
2、值域：由定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成。

三、范围不同
1、定义域：范围有限，是实数域即R。
2、值域：范围可以有限，也可以无限为+∞或-∞。

Answer 3

定义域指自变量x的取值范围，是函数三要素(定义域、值域、对应法则）之一，对应法则的作用对象。求函数定义域主要包括三种题型：抽象函数，一般函数，函数应用题。
定义一：设x、y是两个变量，变量x的变化范围为D，如果对于每一个数x∈D，变量y遵照一定的法则总有确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x∈D，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为这个函数的定义域。[1]
定义二：A，B是两个非空数集，从集合A到集合B 的一个映射，叫做从集合A到集合B 的一个函数。记作
或
其中A就叫做定义域。通常，用字母D表示。通常定义域是F(X)中x的取值范围。
值域，数学名词，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。
在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数
解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。 把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法；
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。　换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。