Question

高中数学 求数学帝已知向量a=(2sinx,√3cosx),b=(-sinx,2...

高中数学 求数学帝 已知向量a=(2sinx,√3cosx),b=(-sinx,2sinx),函数f(x )=a·b+2 (1)f（x）在区间〔π/6,π〕的单调性 （2）在△ABC中,abc分别是角ABC的对边,且f（A）=2,且a=√3.求S△ABC的最大值 f（x）=a×b+2

Answer 1

f(x)=a·b=-2sin²x+2√3sinxcosx+2=cos2x-1+√3sin2x+2=2[sin2x*(√3/2)+cos2x*(1/2)]+1=2[sin2x*cos(π/6)+cos2x*sin(π/6)]+1=2sin(2x+π/6)+1,（1）增区间2kπ-π/2≤2x+π/6≤2kπ+π/2,k∈Z即
kπ-π/3≤x≤kπ+π/6,k∈Z即增区间[
kπ-π/3,kπ+π/6],k∈Z同理,减区间是
[kπ+π/6,kπ+2π/3],k∈Z∵
x∈〔π/6,π〕∴
减区间是[π/6,2π/3],增区间是[2π/3,π]（2）f(A)=2sin(2A+π/6)+1=2,∴
sin(2A+π/6)=1/2∴
2A+π/6=π/6或2A+π/6=5π/6∴
A=0(舍)或A=π/3利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA即3=b²+c²-bc≥2bc-bc∴
bc≤3
当且仅当b=c时等号成立∴
bc的最大值是3∵
S=(1/2)bcsinA∴
S的最大值=(1/2)*3*sinA=3√3/4