Question

已知直线y=x+m与椭圆(x^2)/3+y^2=1相交于AB两点

已知直线y=x+m与椭圆(x^2)/3+y^2=1相交于AB两点，O是坐标原点，C是线段AB的中点，已知OA垂直OB，求|OC|的值

Answer 1

(1)
将直线方程代入椭圆方程并整理得：5x²+2mx+m²-4=0
要保证此直线与椭圆有两个交点，则判别式大于0
(2m)²-4*5*(m²-4)>0
80-16m²>0
解得：-√5<m<√5
(2)设a,b交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),中点坐标为(x,y)
将ab点坐标代入椭圆方程：
4x1²+y1²=4
4x2²+y2²=4
两式相减：4(x1²-x2²)+(y1²-y2²)=0
4(x1+x2)(x1-x2)=-(y1+y2)(y1-y2)
4*(x1+x2)/(y1+y2)=-(y1-y2)/(x1-x2)
x1+x2=2x,y1+y2=2y,右式=直线的斜率=1
所以：4*2x/2y=-1,4x=-y
中点轨迹为一条直线：y=-4x

Answer 2

联立方程
(x^2)/3+y^2=1
y=x+m
可以得到
(x^2)/3+(x+m)^2=1
4x^2+6mx+3m^2-3=0
x1x2=(3m^2-3)/4
4y^2-2my+m^2-3=0
y1
y2
=(m^2-3)/4
因为OA垂直OB
所以x1x2+y1y2=0
有（3m^2-3)/4+（m^2-3)/4
m=正负根号6/2
0.5*(x1+x2)=-3m/4=-3m/4
0.5*(y1+y2)=m/4
就是说C点的坐标为（-3m/4,m/4)
可以知道|OC|的值根号15/4