Question

设函数f(x)的定义域为(0，+∞)且对任意正实数x、y都有f(xy)=f(x)...

设函数f(x)的定义域为(0，+∞)且对任意正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1且x＞1时f(x)＞0. (1)求f(12)的值; (2)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并证明; (3)一个各项均为正数的数列{an}满足f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1(n∈N*)，其中Sn是数列{an}的前n项和，求{an}的通项公式.

Answer 1

解答:解:(1)令x=y=1，得f(1)=0
而令x=2，y=
1
2
，得f(1)=f(2)+f(
1
2
)
∴f(
1
2
)=-f(2)=-1，(4分)
(2)在(0，+∞)上任取两数x1，x2，且x1＜x2，
令
x2
x1
=k，则f(k)＞0
∴f(x2)=f(kx1)=f(k)+f(x1)＞f(x1)
∴f(x)在(0，+∞)上是单调增函数.(8分)
(3)f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1(n∈N*)
=f(an)+f(an+1)+f(
1
2
)
=f[
an(an+1)
2
]，
由于f(x)在(0，+∞)上是单调增函数，
∴Sn=
an(an+1)
2
，n∈N*)
∴S
n-1=
an-1(an-1+1)
2
，n≥2
两式相减，有
a
2
n
-
a
2
n-1
+an-an-1
2
=an，
整理得(an+an-1)(a
n-a
n-1-1)=0
∵an＞0，∴a
n-a
n-1-1=0，a
n-a
n-1=1，n≥2
所以数列{an}是公差为1的等差数列，
当n=1时，a1=S1=
a1(a1+1)
2
，a1=1
∴an=n (14分)