Question

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数……

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a,b属于[-1,1],a+b不等于0，有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0 1.判断f(x)在[-1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论 2.若f(x)<=m^2-2am+1对所有x属于[-1,1]恒成立，求m的取值范围 这是一道简答题耶……所以……当然……写清楚解题的过程……一，是让我看懂，二是让我的老师看懂…… 谢谢谢谢谢谢~~~

Answer 1

奇函数，所以f(b)=-f(-b)
[f(a)+f(b)]/(a+b)>0
[f(a)-f(-b)/(a+b)>0
不妨设a>-b
则a+b>0
f(a)-f(-b)>0
f(a)>f(-b)
同理也可证：a<-b时，a+b<0,f(a)<f(-b)
即对任意a>-b,总有f(a)>f(-b)
因此f(x)是增函数。
2.若f(x)<=m^2-2am+1对所有x属于[-1,1]恒成立，求m的取值范围
因为f(x)是增函数，所以
f(x)≤f(1)=1
f(x)<=m^2-2am+1对所有x属于[-1,1]恒成立，则
m^2-2am+1≥1
m^2-2am≥0
m(m-2a)≥0
又加上对于所有a属于[-1,1]都成立是吗？
那就先在a=0处分开讨论，然后再综合取交集。
a>0
m≥2a或m≤0
包括了a=1在内也成立。所以
m≥2或m≤0
a=0
则m是任意实数
a<0
m≥0或m≤2a
a=-1也包括在内，则
m≥0或m≤-2
取交集
{m≥2或m≤0}∩{m≥0或m≤-2}
=m≥2或m≤-2