Question

级数敛散性？

判断级数n到无穷(nsin1/n)^n^2的敛散性

Answer 1

lim{x->oo} (xsin(1/x))^x^2
= lim{x->oo} e^[x^2ln(xsin(1/x))]
= lim{y->0} e^[ln(sin(y)/y)/y^2], 代换：y = 1/x
= lim{y->0} e^[ln(1-y^2/6)/y^2]
= lim{y->0} e^[-y^2/(6y^2)]， 分子Taylor 展开取最低阶无穷小
= e^(-1/6)
因为通项的极限不趋于零，所以此级数发散。

Answer 2

n->无穷
sin(1/n) = (1/n)-(1/6)(1/n)^3 +o(1/n^3)
nsin(1/n) = 1-(1/6)(1/n)^2 +o(1/n^2)
lim(n->无穷) [nsin(1/n)]^(n^2)
=lim(n->无穷) [ 1-(1/6)(1/n^2) ]^(n^2)
=e^(-1/6)

Answer 3

发散。设an=[nsin(1/n)]^n²。∴lim(n→∞)an=e^{lim(n→∞)n²ln[nsin(1/n)]}。
而，lim(n→∞)n²ln[nsin(1/n)]【令x=1/n，x→0+】=lim(n→∞)(lnsinx-lnx]/x²=…=-1/6。
∴lim(n→∞)an=e^(-1/6)≠0。由级数收敛的必要条件可知，∑an发散。