Question

e的x次方的导函数怎么推导？

Answer 1

函数的求导实际上也就是求极限的过程

求e^x的导函数
即lim(dx趋于0) [e^(x+dx) -e^x] /dx
=lim(dx趋于0) e^x *(e^dx -1) /dx
很显然dx趋于0时，(e^dx -1) /dx趋于1
于是得到 e^x的导数就是e^x

Answer 2

做一个e的x次幂函数到的导数推导猜测：
提前回顾：e = lim(n 趋于无穷 )（1 + 1/n）^ n
改写成：e = lim(h 趋于 无穷小) (1 + h) ^ (1 / h)
好下面开始证明：
[ 中括号内表示的是解释说明]
证明：f (x) = e ^ x , f '(x) = e ^ x 。
f ' (x) = lim(dx 趋于 无穷小) （f(x + dx) - f(x)）/ ((x + dx) - dx) [ 导数定义 ]
f ' (x) = lim(dx 趋于 无穷小) （e ^ (x + dx) - e ^ x) / (dx)
= lim(dx 趋于 无穷小) (e^x * (e^dx - 1) / dx [ e^(x + dx) = e^x * e^dx]
=lim(dx 趋于 无穷小) （h 趋于 无穷小）（e ^ x * ((1+h)^(dx/h) - 1)）/ dx
=lim(dx 趋于 无穷小)（h 趋于 无穷小）（e ^ x * ((1+h)^1 - 1)）/dx [dx 与 h 等价]
= lim(dx 趋于 无穷小)（h 趋于 无穷小）e ^ x * h/dx [ h 与 dx 等价]
= e ^ x
证毕。
解释说明： lim (h -> 0) h = lim(n - > 无穷) 1/n
因为n是自然数，所以h与dx等价（将dx换成1/n是不变的）