Question

高数考研，不定积分这里求解的过程？

Answer 1

先计算后面部分
∫(0,1)√[(1-r²)/1+r²] rdr
=½ ∫(0,1)√[(1-r²)/1+r²] d(r²) ①
令t=1+r²，则t∈(1,2)，①式变为
½∫(1,2) √[(2-t)/t] dt ②
②式由分部积分法令u=√[(2-t)/t]，v'=1，则可得½uv|(1,2)-½∫(1,2)u'v，即
½(√[(2-t)/t] × t) | (1,2)-½∫(1,2) -1/[t^(1/2) × √(2-t)]
=-½-arcsin√(t/2) |(1,2)
=½(π/2-1)
=¼(π-2)
再计算前面
∫(0,π/2) ½(π-2) dθ
=¼(π-2) θ |(0,π/2)
=(π-2)×π/8

Answer 2