Question

求解一道高数题，如图所示

傅里叶级数题，这个4/(nπ)是怎么算出来的

Answer 1

看图像f(-x)=-f(x)，
故采用奇延拓，带入f(x)的表达式来求解！
原积分
=1/π*∫(-π,0) -sinnx dx+1/π*∫(0,π) sinnx dx
=1/π*1/n*cosnx |(-π,0)- 1/π*1/n*cosnx |(0,π)
=2/(nπ)+2/(nπ)
=4/(nπ) n为奇数，
当n为偶数时，bn=0,

追问

谢谢

什么叫奇延拓

追答

函数展开成正弦级数或余弦级数中有时需要把定义在[0，π]或[-π，0]上的函数f（x）展开成正弦级数或余弦级数，为此，可在（-π，0）或（0，π）上补充f（x）的定义，若有必要，可改变f（x）在点x=0的定义，如果使之成为奇函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为奇延拓；如果使之成为偶函数，按这种方法拓广函数定义域的过程称为偶延拓。根据以上讨论，拓广后的函数的傅里叶展开式是正弦或余弦级数，限制x在f（x）原定义区间上即得函数f（x）在[0，π]或[-π，0]上的正弦或余弦级数。

这是定义。

说人话就是：把他搞成奇函数。

使得他的傅里叶展开式里面只有sinnx,没有cosnx项