Question

一道高数题求解这道题

Answer 1

求导一次正负表示函数增减性

求导两次次正负表示函数凹凸性     两次求导不变号，说明凹凸性不变

极值点为凹凸性改变处的点    两次求导不变号，说明凹凸性不变，极值点不存在

有无零点需根据曲率圆来判断凹凸性

先了解曲率圆，如下图

x²+y²=2表示以原点为圆心半径为根号2的圆   曲率为半径分之1>0   曲线为凹曲线

凹曲线必然会与坐标轴有交点  即该函数有零点

望采纳

追问

零点判断这个知识点能继续在补充一点吗

题目中给出的区间（1，2）在这道题怎么用

追答

f(x)在（1,1）点的切线为y=-x+2(可由圆方程得知），该切线与坐标轴交点为（2,0）
又曲率圆在曲线内部，曲率圆与x轴交点（根号2,0）
f(x)为凹曲线，不会超越切线
所以零点必然在（根号2,2）之间，即也在（1,2）之间
请点击采纳，谢谢

Answer 2

曲率中心 ζ = x - y'(1+y'^2)/y'', η = y + (1+y'^2)/y''
在点 P(1, 1)， ζ = 1 - y'(1+y'^2)/y'' = 0， η = 1 + (1+y'^2)/y'' = 0，
(1+y'^2)/y'' = -1， y'(1+y'^2)/y'' = 1，则 y' = -1， y'' = -2。
函数在 点 P(1, 1) 单调减少，且下凹。故在区间 (1, 2) 无极值点，有零点， 选 B。
事实上，圆曲线 x^2+y^2 = 2 本身就满足本题条件，它在区间 (1, 2) 无极值点，有零点，