Question

在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,求证aˆ2sin2B+bˆ2sin2A=2absinC.

Answer 1

a^2sin2B可分解为2asinBacosB。在三角形ABC中作CD垂直AB于D，可知，asinB为CD，acosB为BD，则a^2sin2B为三角形CBD的面积。b^2sin2A也能同理可得。这两个加起来就是三角形ABC的面积。而2absinC就是三角形ABC的面积。

Answer 2

证明：在△abc中，由正弦定理可得
a
sina
=
b
sinb
=
c
sinc
=2r，
可得
a2sin2b+b2sin2a=2r2（2sin22asin2b+2sin2bsin2a）
=2r2[2（1-cos2a）sin2b+（1-cos2a）sin2a]
=2r2[sin2b+sin2a-（sin2bcos2a+cos2bsin2a）]=2r2[sin2b+sin2a-sin（2a+2b）]
=2r2[2sin（a+b）cos（a-b）-2sin（a+b）cos（a+b）]=4r2sin（a+b）[cos（a-b）-cos（a+b）]
=4r2sin（a+b）[2sinasinb]=8r2sinasinbsinc=2absinc，
故原题得证．