Question

求初等数论大神

求助两道题，需要完整过程，急需！n

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Answer 1

没想到什么能用的定理，但可以用笨方法证明，首先列明基础条件，1的立方=7*0+1，2的立方等于7*1+1=8，3的立方=7*4-1=27，4的立方=7*9+1=64，5的立方=7*18-1=126，6的立方=7*31-1=216。而7的倍数7k的立方一定还是7的倍数不用证明。假设对任何非7倍数a=7x+b（b为小于7的正整数）则a的立方=（7x+b）立方=7x立方+3*7x平方*b+3*7x*b平方+b立方，前三项都包含7x一定为7的倍数，而b立方在前面列明是等于7k加减1，所以此式子一定也是7的倍数加减1。

Answer 2

利用余数定理进行证明。

对于整数n，它除以7的余数为m，记作 n^3 mod 7 =m，则：

n^3 mod 7 = m^3 mod 7，即n的立方除7所得余数等于m的立方除7所得余数

而m只有7种可能， m = 0，1，2，3，4，5，6

对所有m^3 mod 7 进行枚举，m=0到6时，m^3 mod 7 的结果如下：

0，1，1，6，1，6，6

很显然，它们都可以表达为 7k 或者 7k±1

因此，n^3 mod 7 一定可以表达为 7k 或者 7k±1。

望采纳。谢谢！