大学数学极限题?

老师这里讲了第一重要极限公式可是这里lim下面的是n趋向于无穷,可是公式底下是n趋向于0这个怎么得出来的结果为1呢?... 老师这里讲了第一重要极限公式 可是这里lim下面的是n趋向于无穷,可是公式底下是n趋向于0 这个怎么得出来的结果为1呢? 展开
 我来答
匿名用户
2022-03-29
展开全部

微积分课上都会讲极限的概念,我们知道它与逼近有关,但在证明中你会怎么利用它呢?

你可能对极限有很好的直观理解。f(x)的极限是指当x接近a时,f(x)接近的值。在更一般的意义上,当输入接近一个值时,函数也接近一个极限值。

虽然这种直觉很好,但在证明中是不适用的。我们需要一个精确的定义来说明接近某物的含义。经过几个世纪的思考,魏尔斯特拉斯(Weierstrass )想出了这样一个定义:极限的epsilon-delta定义。

定义

如果我们要将这个定义形式化,有很多情况,但现在只关注两种情况(稍后会推广它们):有限极限和无限极限。对于有限的双边极限,有:

D是f(x)的定义域。对于无限极限,有:

对于负无穷大的极限,用x<-N代替x>N。

定义中的符号

逻辑等价性

这意味着P和Q在逻辑上是等同的。也就是说,P和Q同时为真或同时为假。如果想证明P,那么你可以证明Q,反之亦然。在极限定义中,这意味着,如果:

等同于:

全称量词

上面表达式的意思是,S的每个元素(表示为k)都将满足后面的条件。你可以把它看作是对那些不相信你接下来要说的话的人的一种挑战。"你不相信我?挑选S中的任何元素,称其为k,k将满足这个右边的一切条件。"

定义中全称量词的两个实例是:

第一个表达式意味着你可以选择任何你想要的正数。第二个表达式意味着你可以在f(x)的定义域中选择任何元素。

存在量词

这个表达式的意思是,在S中至少有一个元素k,使得后面的一切都为真。我们经常需要证明这样一个k的存在,包括在证明极限时。

定义中存在量词的唯一实例是:

当它与前面的陈述结合时,意味着你至少可以说出一个正数,这样无论你为ϵ选择什么样的正值,其余的陈述都是真的。

意味着

这个表达式意味着,如果P是真的,那么Q就是真的。典型的例子是 "如果你在雨中行走,那么你会被淋湿",这句话看起来像:

请注意,如果这句话是真的,那么就有三种可能性:


  • 你在雨中行走,你会被淋湿。

  • 你不在雨中行走,你就不会被淋湿。

  • 你没有在雨中行走,但你被淋湿了(例如,你掉进了游泳池或被洒水器喷到)。

  • 这句话唯一可能是假的,那就是你能在雨中行走,但你没有被淋湿。举个例子很重要,因为有些人把“意味着”和逻辑上的等同性混为一谈。两者之间最大的区别是,在“意味着”情况下,P可以是假的,Q可以是真的,但逻辑上的等价关系却不能。

    定义中唯一的“意味着”:

    表示如果x在a的距离内(但不等于a),那么f(x)在L的距离ϵ内。

    归纳起来

    说:

    等于说对于任何一个正值的 ϵ:

    我们可以找到至少一个正值的:

    这样,对于定义域D内的任何值x:

    (0 < x - a | < )意味着(| f(x) - L | < ϵ)。

    如何证明极限‍

    很多老师或教科书都会止步于此,不告诉你如何把这个定义用于任何情况。我们可以把这个定义提炼成一套一般的步骤,可以按照这些步骤来证明极限。

    有限极限

  • 选择一个任意的ϵ>0的值。在这种情况下,这意味着我们把ϵ当作一个变量。

  • 对x求解不等式| f(x) - L| < ϵ。

  • 你应该得到类似m(ϵ, a) < x < n(ϵ, a)的结果,其中m(ϵ, a)和n(ϵ, a)是包含ϵ和a的表达式。

  • 是两个值中较小的一个| m(ϵ, a) - a |和| n(ϵ, a) - a |。

  • 无限极限

  • 选一个任意的ϵ>0的值。在这种情况下,这意味着我们把ϵ当作一个变量。

  • 求解N的不等式| f(x) - L| < ϵ。

  • 你应该得到类似N>g(ϵ, x)的结果,其中g(ϵ, x)是一个包含ϵ和x的表达式。

  • 一个简单的例子

    首先,我们把ϵ当作一个任意的变量,然后解以下关于x的不等式:

    m(ϵ, 5) = 5 - ϵ / 2,n(ϵ, 5) = 5 + ϵ / 2。请注意,如果我们想从分子和分母中取消(x - 5),x不能等于5。幸运的是,对于极限来说,x永远不需要。现在,我们计算上面的两个值,需要确定一个的值。

    这两个值是相等的,所以我们可以选择 = ϵ / 2,这就完成了。当然,如果愿意,我们可以选择更小的,例如,ϵ / 3或ϵ / π。

    极限的一般定义

    有几种类型的极限:

  • 有限的极限

  • 左极限

  • 极限

  • 正无穷大时的极限

  • 负无穷大时的极限

  • 级数的极限

  • 高维的极限

  • 每个都有一个定义,但定义本身是非常相似的。所有这些都有一些一般的想法。问题在于,每一个极限都在接近极值的方式上有所不同,它们需要不同的定义。

推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式