Question

线性变换

Answer 1

对于矩阵方程 ，A是mxn阶矩阵，则X是n维向量，b是m维向量。我们可以这样解释，矩阵A把n维向量变换为m维向量， 即输入一个n维向量X，输出一个m维向量AX。他们之间满足函数关系T(X)=AX。我们把向量与向量之间这种函数关系称为变换 。其中 是该变换的定义域， 是该变换的余定义域，与X对应的像的集合称为值域。值域是余定义域的一个子集。

可以证明，矩阵方程满足线性性质：


所以矩阵变换都是线性变换 。线性变换不改变向量原点的位置，且一条直线变换后仍然是一条直线。

我们考虑平面上的一个向量 是二维空间的标准基，则 。如果我们对它做一个线性变换，左乘矩阵 ,则变换后的向量为 。由此我们得出变换后的基向量 。 可见变换后的基向量就是矩阵中的列向量，。

对向量的线性变换实际上是对空间基向量的线性变换，空间基向量的变换导致整个空间的线性变换。线性变换的信息都蕴藏在矩阵A中， 理解的关键是要牢记A中的列向量就是空间线性变换后的基向量 。

由矩阵联想线性变换：
考虑 代表的线性变换。由矩阵的列向量我们得知，变换后的 。联想平面网格线： 想象一张长方形照片水平放置，变换之后他将被拉伸为一个底不变的平行四边形。我们称这种变换为剪切变换。
由变换效果写出矩阵
如果我们想使用一个变换，对于 中的所有向量，它们会被顺时针旋转 。那么与之对应的矩阵A为？
只要我们让 变换后的基向量 。则矩阵A为

由线性变换我们可以得出矩阵乘法公式：

是变换后的基向量

当多个矩阵作于于向量 时：

按从右到左的顺序，先进行变换B，在进行变换A。