Question

如何证明正交矩阵的特征值为1或-1

Answer 1

设λ是正交矩阵A的特征值,x是A的属于特征值λ的特征向量
即有 Ax = λx,且 x≠0.
两边取转置,得 x^TA^T = λx^T
所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx
因为A是正交矩阵,所以 A^TA=E
所以 x^Tx = λ^2x^Tx
由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数
故 λ^2=1
所以 λ=1或-1.