Question

巧解“鸡兔同笼”

Answer 1

在网上偶然看见一道小学生奥数题——在一个笼子里面有鸡和兔子两种动物，从上面数，一共有35个头，从下面数，一共有94只脚。问：笼中有鸡和兔子各多少只？

这本是一道并不难解答的题目，不过，解答之后看了网上不同的解答过程，感觉非常有趣，这一道经典题目似乎背后有许多有意思的东西可以挖掘。

对于一个学习理工科的我来说，解题思路非常清晰。

设：笼中有x只鸡，y只兔子，由题意可得

(1) x + y = 35

(2) 2x + 4y = 94

解得， x = 23， y = 12 ；所以，笼中有鸡23只，兔子12只。

非常工整吧，嘿嘿，基础相当扎实。

其实，不需要二元方程也可以。设鸡有x只，兔子就是 （35 - x） 只， 2 * x + 4 * （35 - x）= 94 ，解出 x = 23 。不过本质上跟方程组没什么区别。

可这毕竟是小学的奥数题，直到小学毕业的时候，才接触未知数的应用，所以我这二元一次方程组的解法，一定会遭小朋友白眼的，实在拿不上台面。于是，我又想不利用未知数该如何解答。

假设笼子中35个头都是鸡的头（即按头的数量，假设所有的动物都为鸡），那么下面的脚应该是70只。这比题干所给的94只少了24只，也就是说“鸡多了，兔子少了”。我们知道，每减少一只鸡，增加一只兔子（保证35个头不变），都会多出2只脚。所以，少了24只脚，需要减少12只鸡，增加12只兔子。所以，笼中有兔子12只，鸡（35-12）=23只。

同理，如果假设35只都是兔子的话，脚就会比题干给出的94只多出 （35 * 4 - 94）= 46 只。那就需要增加鸡的数量，减少兔子的数量。道理相同，不再赘述。

想出第二中解法后，我还是沾沾自喜的，颇为自己的智商自恋了一会。可是看到网上竟有神人提出了“抬腿法”，看过之后的我除了鼓掌称赞之外，实是不能表达我的敬仰之情！

假设笼中的所有鸡和兔子都训练有素，这个时候，饲养员吹一声哨子，所有动物抬起一只脚；然后，饲养员再吹一声哨子，所有动物再抬起一只脚。这个时候，所有的鸡都一屁股坐在地上了（笑死我了），所有的兔子则都用2只脚站在地上。而地上此时一共有 （94 - 35 - 35）= 24 只脚，都是2只脚站在地上的兔子的脚。所以，笼中共有兔子（24 / 2）= 12只，鸡（35 - 12）= 23只。

太有才了！！第一个想出这个解法的人，不仅聪慧过人，更幽默风趣。最重要的是，如果给小朋友这样讲数学题的话，相信所有的孩子都会爱上数学的。

此时的我回头再看看我的“二元一次”方程组，竟然显得死板僵硬，毫无生气。怪不得总有人说读书读多了，人会变的无趣。不过，正当我盯着本子上两个方程出神的时候，突然发现一个有趣的事情。

(1) 式：x + y = 35

(2) 式：2x + 4y = 94

看这两个方程，如果我们想要解开这个方程组的话，应该有2种方法，分别是“代入消元法”和“加减消元法”。如果使用“代入消元法”，就是上文提到的“利用一个未知数解答”的方法；而如果使用“加减消元法”，则会出现“有趣的事情”。

就本题来讲，使用加减消元法，可以“消去x”。（2）-（1） * 2得到2 * y = 24，y = 12。这样解题的过程，正好是“假设法”中，“假设所有动物都是鸡”的思路！

由（1）式可得： （x + y）= 35 （个头），

如果都是鸡，就在左右两边都乘以2，得

（3）式： 2 * （x + y ）= 70 （只脚）

然后 （2）-（3） 得

2 * y = 24 （每增加一只兔子，多2只脚，现在少24只脚）， y = 12 （需要增加12只兔子，相应的需要减少12只鸡）。

同理，加减消元法也可以“消去y”。 （1）* 4 - （2） 得到 2 * x = 46，x = 23 。这样解体得过程，则是“假设法”中，“假设所有动物都是兔子”的思路！原理同上，不再赘述。

而如果这样消元的话： （2）-（1）-（1） ，是不是就是“抬腿法”的思路啊！

看到这里，我有些呆住了，而后又释然了。其实所有的方法，究其本质，是一样的，只不过表达的方式不同而已。“二元一次方程组”是描述题目最为简单、直接的方式，所以，也最为底层；其它方式，更像是在已有的条件之上，增添了自己个人的理解，将整个题目引申到一个更加贴近生活的层面上予以解答。所以，利用方程组解题，毫无生活气息可言，而其它的方法就很有些人情味了。

这个世界的真实面貌，也许就是科学家们用数学语言描述的抽象的、客观的、唯一的现实形态，只不过，每个人理解自己眼中的世界，可就是千奇百怪，千姿百态了。这也正是这个世界的美好之处。如果只能面对干巴巴的数学公式来理解这个世界，我想我宁愿不去理解这个“可恶”的世界。