Question

概率与期望值问题？

甲乙两人进行一个游戏，甲每把的胜率为40%，乙每把的胜率为50%，10%的几率平手。每把的输家付给赢家1元。甲的初始资金为3元，乙的初始资金为6元。当一方全部输完游戏结束。
请问：
1、游戏结束时，甲、乙获胜的概率分别是多少？
2、游戏预期进行的盘数是多少？

Answer 1

这类题型在2019年高考数学全国卷1中出现过

第1问：

设在某把游戏前甲剩余的钱是n元，此时继续进行游戏，甲获胜的概率为P(n)，则

P(0)=0，P(9)=1，

当n既不是0，又不是9时，继续进行游戏分为三种情况：

(1) 甲赢了一把，n加上1，继续游戏直至游戏结束（如果甲已经赢了，可以视作继续进行0次游戏，可以并入这种情况）

(2) 甲输了一把，n减掉1，继续游戏直至游戏结束（如果甲已经输了，可以并入这种情况）

(3) 甲乙平局，n不变，继续游戏直至游戏结束

于是P(甲最终赢)=P(甲这次赢，并最终赢)+P(甲这次输，但最终赢)+P(这次平局，甲最终赢)

 所以得到递推公式P(n)=0.4×P(n+1) + 0.5×P(n-1) + 0.1×P(n)

根据递推公式和P(0)=0，P(9)=1，可以解出P(n)=k×(5^n/4^n-1)，其中k=4^9/(5^9-4^9)

初始时n=3，P(3)=4096/27721≈0.14758

因此甲最终获胜的概率为0.14758，乙最终获胜的概率为1-P(3)≈0.85242

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第2问：

设某把游戏前，甲剩余的钱为n元，此时再进行k次游戏后游戏结束，对于每一个n，k的期望是E(n)

则E(0)=E(9)=0

经过和第一问类似的分类讨论，可以得出递推公式（数学期望可以分类分别求期望，然后求期望的期望）

E(n)=0.4×E(n+1) + 0.5×E(n-1) + 0.1×E(n) + 1

接下来计算方法和第1问差不多

Answer 2

你好！甲和乙相比甲的胜率低本金又少。所以肯定是甲先输掉。
假设游戏进行了x盘后甲输掉所有的钱，列如下等式成立：
x*0.4+3-x*0.5=0
x=30
求解得出：游戏预期进行了30盘后甲输掉所有的钱，游戏结束。
至于你的第一问的答案，你在原题里已经明确给出了：甲获胜的概率为40%，乙获胜的概率为50%啊！否则这个题就无解了。
感谢采纳！