Question

已知f(√x+1)=x+1，求f(x)的解析式

已知f(√x+1)=x+1，求f(x)的解析式这类问题中，往往答案都给个定义域，如C项的[1,+∞)。我想问的是，即使f(x)=x²-2x+2，x∈R，f(√x+1)=x+1成立f(x)=x²-2x+2,x∈[-1,+∞),f(√x+1)=x+1成立，本题中C项 f(x)定义域为[1,+∞)科学吗？ 再如：f(x)=x+1，x∈R，我们可以求出f(x²)=x²+1f(x)=x+1，x∈[-1,+∞)，我们可以求出f(x²)=x²+1那么问题来了，f(x²)=x²+1，f(x)=_______.能确定f(x)的定义域是[0,+∞)？？？？？

Answer 1

换元法，注意定义域
令√x+1=t,易知t≧1,得x=(t-1)^2
代入f(t)=(t-1)^2+1=x^2+2t+2
即f(x)=x^2+2x+2，（x≧1）

追问

不是换元中定义域的事吧。
我在后面写了例子了

再如：f(x)=x+1，x∈R，我们可以求出f(x²)=x²+1。
f(x)=x+1，x∈[-1,+∞)，我们可以求出f(x²)=x²+1那么问题来了，f(x²)=x²+1，f(x)=_______.能确定f(x)的定义域是[0,+∞)？？？？？

追答

你理解偏差，那是求函数的值，函数的定义域仍然为R,
可以按抽象函数定义域理解，对x而言，理解这四个字，t=x^2属于R,x为R

追问

你没仔细看我的问题，没弄明白我想问什么。
题目这样出本来就不科学。

Answer 2

个人理解，题目要求你选出与题设条件互为充要关系的选项。
（以下讨论默认限制在实数范围内。）
f(√x+1)=x+1可以推出一个f的解析式，你肯定会，我不多说。
不过还要注意，题干提供的信息只有这一个式子。f后的括号内是√x+1，它是大于等于1的，这意味着我们只能得出f在[1,+∞)的表达式，而(-∞，1)范围内，f的取值、性质，是完全未知的，它可以仍然符合之前算出的那个表达式，也完全可以是另一个，比如我可以让f在1这个点不连续，又比如我可以让f在(-∞，1)的形式不是初等函数，这些情况也都符合题设，所以你能算出的那个解析式是有适用范围的。

追问

这个解释我赞同。
但我觉得这种题目本身科学性欠妥的。[1,+∞)上，f(x)必然是题目设定的解析式，但定义域未必是[1,+∞)。同样，x<1时可以完全是不同的表达式。

追答

毕竟只是个题目而已，还是选择题。只能说揣摩出题人意图了

追问

这种题我是明白的。通过你的解释加深了我对题目的认识，谢谢。
我觉得只能说C是合理的选项，f(x)未必是唯一的，只有C项是最合理的解释。改为求f(x)在[1,+∞)上的解析式更合理一些。