Question

如果函数f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)(a>0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围？

如果函数f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)(a>0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围？

Answer 1

解：设a^x=t,则有
y=t(t-3a²-1)=[t²-(3a²+1)t+(3a²+1)²/4]-(3a²+1)²/4
=[t-(3a²+1)/2]²-(3a²+1)²/4
当t≥(3a²+1)/2,f(x)单调递增。
即a^x≥(3a²+1)/2
即xlna≥ln(3a²+1)-ln2
即x≥[ln(3a²+1)-ln2]/lna
∵x∈[0,+∞)
∴[ln(3a²+1)-ln2]/lna≤0
当a>1时，lna>0
即有3a²+1≤2，解得-√3/3≤a≤√3/3(略去)
当0<a<1时，lna<0
即有3a²+1≥2，解得a≤-√3/3(略去)或a≥√3/3
∴√3/3≤a<1

综上所述，a的取值范围为[√3/3,1)