Question

海伦公式的推导过程?

Answer 1

证明:海伦公式:若ΔABC的三边长为a.b.c.则
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4(这是海伦公式的变形.[负号[-"从a左则向右经过a.b.c".负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期!我觉得这么记更简单.还设个什么l=(a+b=c)/2啊.多此一举!)
证明:设边c上的高为 h.则有
√(a＾2-h＾2)+√(b＾2-h＾2)=c
√(a＾2-h＾2)=c-√(b＾2-h＾2)
两边平方.化简得:
2c√(b＾2-h＾2)=b＾2+c＾2-a＾2
两边平方.化简得:
h=√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))
SΔABC=ch/2
=c√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))/2
仔细化简一下.得:
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4
用三角函数证明!
证明:
SΔABC=absinC/2
=ab√(1-(cosC)＾2)/2----(1)
∵cosC=(a＾2+b＾2-c＾2)/(2ab)
∴代入(1)式.(仔细)化简得:
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4