Question

《线性代数》线性方程组求解问题……

题目如下：
求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成
ξ1= (1 -2 0 3 -1)' , ξ2= (2 -3 2 5 -3)' , ξ3= (1 -2 1 2 -2)' 。
求解此类题目的思路是怎样的？谢谢！

Answer 1

你的想法是对的。
第一个，x是可以随便取，但为了答案简洁明了，并且保证通解时变量不全取0（变量全取0是特解），我们会将其中一个置零，又为了写出来好看些，我们一般取合适的值使左边的因变量是整数。所以，事实上通解中变量只要是取不全为零的数就行，因为你在通解的左边会乘一个常数k，从而保证通解的普遍性。
第二个，那得是看哪里的矩阵了。在求极大无关组时，矩阵的化简形式不唯一，答案可能也会有所不同；在求方程的解时，因为只能行变换，而且要化成标准型，所以矩阵的化简结果应该是唯一的，但通解形式不唯一，上面说过了，而特解形式定是唯一的。

Answer 2

令E=[ξ1,ξ2,ξ3]为5×3矩阵
假设其次线性方程组为AX=0，由于方程基础解空间为3维的，且方程有5个未知量，由线性方程组性质得Rank(A)=5-3=2因此，仅需构造2×5的矩阵A，使得AE=0即可。
如果已经明白如何处理了，下面的就不重要了，下面是如何构造A，由于是临时想的，不一定是最好的方法。
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构造方程组E'Y=0。这里E的概念同上，Y为5×1的未知向量。
易知rank(E')=3，因此方程组E'Y=0有两个线性无关的解向量，求出这两个解向量为η1，η2，令A = [η1,η2]'即可。