曲面面积怎么求?

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2022-06-30 · 醉心答题,欢迎关注
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是指曲面表面的面积。把光滑曲面S分成没有公共内点的n块S1,... , Sn,且每一块仍是光滑曲面,在每个S上取一点P,过P作S的切平面T,将s投影到T上,所有这些投影的面积之和的极限(当所有S的直径趋于零时)如果存在,就是曲面S的面积,对有界简单光滑曲面而言,这样的极限总是存在的,而且与曲面的光滑等价的参数表示的选择无关。
设空间有界曲面

其中


面上的投影区域,

上具有连续的偏导数,下面讨论曲面
的面积的计算问题。
现用平行于x轴和y轴的两组平行直线分割投影区域
,任取其中的一块记作
,其面积也记作
,则当
的直径很小时,

表示以
的边界为准线,母线平行于z轴的柱面截得的曲面
上的那部分,设

上的任一点,根据条件,曲面
在点P处有切平面,则可用柱面截得切平面上的那一小片平面的面积dS近似地代替
的面积
,则
其中,
是切平面与
面的夹角,也就是切平面的法向量n与
面的法线
轴的夹角,由曲面
的方程可知
所以
代人式(1)得
则曲面的面积微元为
将dS在投影区域
上积分,便得计算曲面面积的二重积分公式
东莞大凡
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