Question

曲面面积怎么求？

Answer 1

是指曲面表面的面积。把光滑曲面S分成没有公共内点的n块S1,... , Sn，且每一块仍是光滑曲面，在每个S上取一点P，过P作S的切平面T，将s投影到T上，所有这些投影的面积之和的极限(当所有S的直径趋于零时)如果存在，就是曲面S的面积，对有界简单光滑曲面而言，这样的极限总是存在的，而且与曲面的光滑等价的参数表示的选择无关。
设空间有界曲面
为
其中
是
在
面上的投影区域，
在
上具有连续的偏导数，下面讨论曲面
的面积的计算问题。
现用平行于x轴和y轴的两组平行直线分割投影区域
，任取其中的一块记作
，其面积也记作
，则当
的直径很小时，

表示以
的边界为准线，母线平行于z轴的柱面截得的曲面
上的那部分，设
是
上的任一点，根据条件，曲面
在点P处有切平面，则可用柱面截得切平面上的那一小片平面的面积dS近似地代替
的面积
，则
其中，
是切平面与
面的夹角，也就是切平面的法向量n与
面的法线
轴的夹角，由曲面
的方程可知
所以
代人式(1)得
则曲面的面积微元为
将dS在投影区域
上积分，便得计算曲面面积的二重积分公式