Question

复变函数中多值函数和单值函数的区别是什么？

Answer 1

多值函数是一种二元关系。设X是一个非空数集，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若在X中有至少一个元素x，按对应法则f，Y有至少两个元素y与之对应，且对X中的所有元素x，按对应法则f，都有Y中的元素y与之对应，则称f为从X到Y的多值函数，记作y=f(x)。

单值函数是设X是一个非空数集，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X上的单值函数，记作y=f(x)。

多值函数的部分应用

1、不定积分可以视为是多值函数，函数f的不定积分是一个函数的集合，集合中的每一个函数微分后都是f，因此不定积分存在一积分常数，因为积分常数不论本身数值多少，微分后都是0。

2、所有的多值函数都是来自非单射的函数，因为原始函数无法完全保存其输入的资讯，因此函数也就不可逆。

3、复变函数的多值函数会有分支点，例如n次方根以及对数函数中，0是分支点，而arctan函数中，虚数单位i和−i为分支点。利用分支点可以限定范围的方式，将这些函数重新定义为单值函数。若是在实函数的例子中，这个限制的区域一般为函数的主分支。

以上内容参考 百度百科-多值函数

以上内容参考 百度百科-单值函数