Question

拉格朗日定理条件是什么呢?

Answer 1

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函数f(x)满足条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续。

（2）在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ。

显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f(a)=f(b)时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。

推论：如果函数f(x)在区间(a,b)内任意一点的导数f'(x)都等于零，那么函数f(x)在(a,b)内是一个常数。

证：设x1,x2是区间(a,b)内的任意两点，且x1＜x2，则函数f(x)在区间[x1,x2]上满足拉格朗日终值定理的条件，所以在(x1,x2)内至少存在一点ξ，使得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)。

由假设知f'(ξ)=0，所以f(x1)=f(x2)。

由于x1,x2是(a,b)内的任意两点，所以函数f(x)在(a,b)内的函数值总是相等的，即函数f(x)在(a,b)内是一个常数。
由此可知，函数f(x)在(a,b)内是一个常数的充分必要条件是在(a,b)内f'(x)=0。

推论：如果函数f(x)与g(x)在区间(a,b)内每一点的导数f'(x)与g'(x)都相等，则这两个函数在区间(a,b)内至多相差一个常数，即f(x)=g(x)+C,x∈(a,b)。这里C是一个确定的常数。