Question

设向量组a1,a2,...,as的秩为r,证明其中任意选取m个向量构成向量组的秩>=r+m-s

Answer 1

向量组a1,a2,...,as的秩为r,所以其中存在一个含r个向量ai的线性无关的向量组.不妨设 a1,．．．,ar,线性无关.共r个向量.在此之外共s－r个向量.
其中任意取 m个向量,
如果 m＜＝ s－r,自然有,m＋r－s＞＝0
如果 m＞s－r,这m个向量中,最多有 s－r个不是 a1,．．．,ar之一.所以至少有 m－（s－r）个向量都在a1,．．,ar之中.而这m－（s－r）个向量线性无关.所以 这m个向量的秩 ＞＝ 其中的落在 a1,．．．,ar中的向量的秩 ＞＝ m－（s－r）＝r＋m－s