Question

已知函数f（x）=kx，g（x）=[lnx/x]？

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由已知得 g ′ (x)＝ 1 x x−lnx x 2 =[1−lnx x 2 ，由此能求出函数g（x）= lnx/x]的单调递增区间．
（Ⅱ）由已知k≥[lnx x 2 对（0，+∞）恒成立，构造函数h（x）= lnx x 2 ，x＞0，利用导数性质能求出实数k的取值范围．（Ⅲ）由 lnx x 2 ≤ 1/2e]，得[lnx x 4 ≤ 1/2e • 1 x 2 ]，由此利用放缩法和裂项求和法能证明[ln2 2 4 + ln3 3 4 +…+ lnn n 4 ＜ 1/2e]（1-[1/n]）（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）g′(x)＝

1
xx−lnx
x2=[1−lnx
x2，
由g′（x）＞0，得1-lnx＞0，解得0＜x＜e，
∴函数g（x）=
lnx/x]的单调递增区间为（0，e）．
（Ⅱ）f（x）≥g（x）即kx≥[lnx/x]对（0，+∞）内恒成立，
∴k≥[lnx
x2对（0，+∞）恒成立，
构造函数h（x）=
lnx
x2，x＞0，
则h′（x）=
1−2lnx
x3，
由h′（x）=0，得x＝
e，
又x∈(0，
e)，h′（x）＞0；x∈（
e，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）max=h（
e）=
1/2e]，
∴k≥
1
2e，即实数k的取值范围是[[1/2e，+∞）．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知
lnx
x2]≤
1
2e，
∴[lnx
x4≤
1/2e•
1
x2]，
∴[ln2
24+
ln3
34+…+
lnn
n4
≤
1/2e(
1
22+
1
32+…+
1
n2)
＜
1
2e][[1/1×2+
1
2×3+…+
1
n(n−1)]]
=[1/2e(1−
1
2+
1
2−
1
3+…+
1
n−1+
1
n)
=
1
2e(1−
1
n)，
∴
ln2
24]+[ln3
34+…+
lnn
n4＜
1/2e]（1-[1/n]）（n≥2，n∈N*）．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

1年前
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（Ⅰ）求函数g（x）=[lnx/x]的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）内恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证：[ln2 2 4