Question

如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,三角形ABD是等腰三角形,E是AB的中点

Answer 1

如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F,若AB=2．
（1）直接写出BC的长；
（2）如图2,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,求sin∠ACH的值．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：探究型．分析：（1）根据直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半可直接进行解答；
（2）先根据BC=1可求出AC的长,再根据△ABD是等边三角形可知AD=2,由图形折叠的性质可知CH=DH,设DH=x,在Rt△ACH中利用勾股定理即可求出x的值,由锐角三角函数的定义即可求解．（1）∵△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,AB=2,
∴BC=1 2 AB=1；
（2）由（1）得BC=1,
∴AC= 3 ,
∵△ABD是等边三角形,
∴AD=2,
设DH=x,由折叠得：DH=CH=x,
∴在Rt△ACH中,
由勾股定理得：（2-x）2+3=x2,
解得：x=7 4
∴sin∠ACH=AH CH =1 7 ．点评：本题考查的是图形翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的性质及锐角三角函数的定义,解答此题的关键是熟知图形折叠的性质,即折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．