Question

已知a是实数,函数f(x)=2ax^2+2x

Answer 1

原题：
已知a是实数,函数f(x)=2ax^2+2x-3-a.如果函数y=f(x) 在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.
答案要详细点
即求方程2ax^2+2x-3-a=0在区间[-1,1]上有解时,a的取值范围.
（1）a=0时,y是一次函数,此时y=2x-3,使y为0的x=3/2,不在[-1,1]上,所以在[-1,1]上没有零点,故a≠0.
（2）a≠0,f（x）=2ax^2+2x-3-a是个二次函数,函数f（x）的零点就是方程f（x）的实数根,也是函数f（x）的图像与x轴的交点.
一：图像在[-1,1]有一个交点,这个交点不是抛物线的顶点.此时有f（-1）*f（1）=（a-1）*(a-5)≤0,即1≤a≤5
二：图像在[-1,1]有一个交点,这个交点恰是抛物线的顶点.这时就要让函数△=0,再把令△=0的两根求出看看是否在区间[-1,1]中,如果在就保留,不在就舍去,解得a1=（-3-√7）/2 a2=（-3+√7）/2,当a=（-3-√7）/2时,由f（x）=0得x=（3-√7）/2∈[-1,1],所以此时也有零点
三：图像在[-1,1]有两个交点,此时分a＞0和a＜0两种情况讨论.函数在[-1,1]上有两个零点的充要条件是什么或者说是函数在[-1,1]上有两个零点等价于什么,我们把文字语言转化为数学语言就是
a＞0
△=8a^2+24a+4＞0
-1＜(-1)/2a＜1
f（1）≥0
f（-1）≥0
a＜0
△=8a^2+24a+4＞0
-1＜(-1)/2a＜1
f（1）≥0
f（-1）≥0
解得a≥5或a＜（-3-√7）/2
再综合前面所有对a的讨论得出a的取值范围是a≥1或者a≤（-3-√7）/2