Question

讨论级数 ∑x∧n/n∧s(s＞0)的敛散性，包括绝对收敛、条件收敛和发散

Answer 1

后项比前项的绝对值的极限=|x| 故收敛半径R=1，|x|<1绝对收敛；

x=1时：s>1绝对收敛，0<s≤1发散；

x=-1, 由于1/n^s单减趋于0，由莱布尼兹判别法，级数条件收敛；

当|a|<1时收敛：这可由根式判别法直接得到；

当|a|>1时收敛：这可由根式判别法直接得到；

当a=1时，这是一个p---级数，即当s>1时收敛，当s≤1 时发散；

当a= - 1时，利用莱布尼茨判别法：即当s>0时收敛，当s≤0时发散；

a(n+1)/a(n)

=(a^(n+1)/(n+1)^s)/(a^n/n^s)

=a/(n+1)→0<1

根据比值判敛法，级数收敛。

扩展资料：

令{}为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|-A|<b恒成立，就称数列{}收敛于A（极限为A），即数列{}为收敛数列。

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

参考资料来源：百度百科-收敛