sin(2πfot+α)的傅里叶变换怎么求
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1、 考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和,可惜多项式并不能直观的表示周期函数,由于正余弦函数是周期函数,可以考虑任意一个周期函数能否表示成为一系列正余弦函数的和。假设可以,不失一般性,于是得到:
f(t)= A0+∑(n=1,∞) Ansin(nωt+Φn)
2、 将后面的正弦函数展开:
Ansin(nωt+Φn)=AnsinΦncosnωt+AncosΦnsinnωt
令 a0/2 =A0,an = AnsinΦn,bn=AncosΦn,x=ωt,可得
f(x)= a0/2+∑(n=1,∞)(ancosnx+bnsinnx)
对两边在区间[-π,π]积分,得
ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +ƒ(-π->π)(∑(n=1,∞) (ancosnx+bnsinnx))dx
ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +∑(1 -> ∞) (ƒ(-π->π)(ancosnx+bnsinnx)dx)
ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +∑( 1 -> ∞) [anƒ(-π->π)cosnxdx+bnƒ(-π->π)sinnxdx]
ƒ(-π->π) f(x)dx =a0/2 * 2π +∑( 1 -> ∞) [anƒ(-π->π)cosnxdx+bnƒ(-π->π)sinnxdx]
当n=0时
ƒ(-π->π) f(x)dx = ao * π
于是我们求出了a0的值。
ao = ƒ(-π->π) f(x)dx /π
三角函数系{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……,cosnx,sinnx,……} -------------- ⑴
在区间[-π,π]上正交,就是指在三角函数系⑴中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0,即
∫[-π->π]cosnxdx=0
∫[-π->π]sinnxdx=0
∫[-π->π]sinkxcosnxdx=0
∫[-π->π]coskxcosnxdx=0
∫[-π->π]sinkxsinnxdx=0
(k,n=1,2,3.....,k≠n)
下面利用三角函数正交性求出an,在原函数两端乘以cos(nx)
f(t)= A0+∑(n=1,∞) Ansin(nωt+Φn)
2、 将后面的正弦函数展开:
Ansin(nωt+Φn)=AnsinΦncosnωt+AncosΦnsinnωt
令 a0/2 =A0,an = AnsinΦn,bn=AncosΦn,x=ωt,可得
f(x)= a0/2+∑(n=1,∞)(ancosnx+bnsinnx)
对两边在区间[-π,π]积分,得
ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +ƒ(-π->π)(∑(n=1,∞) (ancosnx+bnsinnx))dx
ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +∑(1 -> ∞) (ƒ(-π->π)(ancosnx+bnsinnx)dx)
ƒ(-π->π) f(x)dx = ƒ(-π->π)a0/2dx +∑( 1 -> ∞) [anƒ(-π->π)cosnxdx+bnƒ(-π->π)sinnxdx]
ƒ(-π->π) f(x)dx =a0/2 * 2π +∑( 1 -> ∞) [anƒ(-π->π)cosnxdx+bnƒ(-π->π)sinnxdx]
当n=0时
ƒ(-π->π) f(x)dx = ao * π
于是我们求出了a0的值。
ao = ƒ(-π->π) f(x)dx /π
三角函数系{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……,cosnx,sinnx,……} -------------- ⑴
在区间[-π,π]上正交,就是指在三角函数系⑴中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0,即
∫[-π->π]cosnxdx=0
∫[-π->π]sinnxdx=0
∫[-π->π]sinkxcosnxdx=0
∫[-π->π]coskxcosnxdx=0
∫[-π->π]sinkxsinnxdx=0
(k,n=1,2,3.....,k≠n)
下面利用三角函数正交性求出an,在原函数两端乘以cos(nx)
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