Question

怎么证明柯西不等式

Answer 1

n元柯西不等式：
（a1^2+a2^2+...+an^2）(b1^2+b2^2+...+bn^2)》(a1b1+a2b2+...anbn)^2
等号当且仅当a1:b1=a2:b2=...=an:bn
证明：
考虑t的二次函数
f(t)
=（a1^2+a2^2+...+an^2）t^2-2(a1b1+a2b2+...anbn)t+(b1^2+b2^2+...+bn^2)
= (a1*t-b1)^2 + (a2*t-b2)^2 +...+ (an*t-bn)^2
故f(t)》0恒成立,且等号成立当且仅当a1:b1=a2:b2=...=an:bn（bi=0时,必有ai=0,实则为n-1元柯西不等式）
故判别式=4(a1b1+a2b2+...anbn)^2- 4(a1^2+a2^2+...+an^2）(b1^2+b2^2+...+bn^2)《0
从而知柯西不等式成立.