用数列极限的定义证明题什么原理?
2022-12-13 · 百度认证:北京惠企网络技术有限公司官方账号
1、数学最基本的两大思想就是:归纳和演绎;也可以说,归纳和演绎是数学的灵魂,从现实中讲,这种思维方法已经触及到了每个人的思维深处了,常说的“吃一堑长一智”“由此及彼”等都是这个原理。
2、但数学作为一门抽象逻辑学科,不能仅从简单的归纳或演绎中得出结论就了事,因为这样构成不了逻辑体系,因此,对于归纳或演绎出的结论,结果必须给予证明。例如,科德巴赫猜想就是归纳出的结论,虽然都感觉是对的,但是证明却非常困难,目前也仅仅停留在(1+2)上。
3、所遇到的数列极限的证明方法是“ε-δ”证明法,它的由来你可以去查一查,是经过了几代数学家,大量的理论逻辑建立才达到的,所用到的只是最初级的应用,它是一种极限推进证明法,∀和∃是其中非常重要的逻辑含量,表明了任意取值的完备性和存在数值的唯一性,堪称数堪称数学史上的伟大创新。
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首先,要搞清楚数列极限的定义:设{Xn}为实数数列,a为定数.若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n>N时有_Xn-a_<ε则称数列{Xn}收敛于a,定数a称为数列{Xn}的极限。证明的关键,就是找到这个N。
用定义证明数列极限存在的关键是:对Πε>0,都能找到一个正整数N,当n>N时,有|an-a|<ε成立这里的Πε>0,由证题者自己给出因此,关键是找出N。
显然,要寻找的N,一定要满足当n>N时,有|an-a|<ε成立而|an-a|可以看成是关于正整数n的函数,可以通过求解不等式|an-a|<ε,找到使|an-a|<ε成立,n所要满足的条件,亦即不等式|an-a|<ε的解集该解集是自然数集N的无限子集对同一个ε,N并不惟一。
因此,只需在该解集找出一个作为N即可这样寻找N的工作就转化成求解不等式|an-a|<ε的问题了。
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