Question

根号下a+x/a-x的不定积分

Answer 1

换元,令√[(a+x)/(a-x)]=t,则x=a(t^2-1)/(t^2+1),dx=4at/(t^2+1)^2dt

原积分

=∫t*4at/(t^2+1)^2dt

=4a∫t^2/(t^2+1)^2dt

=4a[∫1/(t^2+1)dt-∫1/(t^2+1)^2dt]

再换元,令t=tanu,u=arctant,dt=1/(cosu)^2.sinu=t/√(1+t^2),cosu=1/√(1+t^2).则上式

=4a[arctant-∫(cosu)^2du]

=4a[arctant-∫(1+cos2u)/2du] 

=4a[arctant-u/2-sin2u/4+C]

=2a[2arctant-u-sinucosu+C]

=2a[2arctant-arctant-t/(1+t^2)+C]

=2aarctan√[(a+x)/(a-x)]-√(a^2-x^2)+C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫adx=ax+C，a和C都是常数

2、∫x^adx=[x^(a+1)]/(a+1)+C，其中a为常数且a≠-1

3、∫1/xdx=ln|x|+C

4、∫a^xdx=(1/lna)a^x+C，其中a>0且a≠1

5、∫e^xdx=e^x+C

6、∫cosxdx=sinx+C

7、∫sinxdx=-cosx+C

8、∫cotxdx=ln|sinx|+C=-ln|cscx|+C