Question

如何证明导数连续可导

Answer 1

连续：左右极限存在且相等且等于在该点的函数值。

可导：函数在该点连续，左导数等于右导数。

用反证法。

设lim(x趋于a)f'(x)=L，就是要证L=f'(a)，那么我们先假设L>f'(a)。

取L'=(L+f'(a))/2>f'(a)，根据函数极限的定义，对于

epsilon=(L-f'(a))/2>0，存在一个x的邻域delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，

|f'(x)-L|<epsilon,推出f'(x)>L-epsilon=L'。

如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。

扩展资料：

关于函数的可导导数和连续的关系：

1、连续的函数不一定可导。

2、可导的函数是连续的函数。

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

4、存在处处连续但处处不可导的函数。

函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

参考资料来源：百度百科——可导函数