Question

设f(x)=x^2,0≤x<1;f(x)=x,1≤x≤2,求I(x)=∫0到xf(t)dt在[0,2]上的表达式

Answer 1

(1/2)x^2-1/6

解题过程如下：

分段函数f(x)的分段点是x=1，

显然在x->1-的时候，f(x)的左极限等于1^2=1，

而x=1及x->1+时，f(x)的右极限和函数值都等于1，

所以f(x)在其定义域[0，2]上是连续的，

因此其积分函数

I(x)=∫0到xf(t)dt在[0,2]上也是连续的，

当x∈[0,1)时，

I(x)=∫0到xt^2dt=(1/3)x^3

当x∈[1,2]时，

I(x)=∫0到xf(t)dt

=∫0到1t^2dt+∫1到xtdt

=1/3+∫1到xtdt

=1/3+(x^2-1)/2

=(1/2)x^2-1/6

分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

扩展资料

求分段函数的最小正周期的方法有：定义法、公式法和作图法。

例6求函数f(x)=的最小正周期。

定义法：当x=2kπ或2kπ+π时，sin(2kπ+π)=sin2kπ=0

当2kπ-π<x<2kπ时,2kπ<x+π<2kπ+π,k∈z

f(x)=-sinx,f(x+π)=sin(x+π)=-sinx,

即有f(x+π)=f(x)，同理可证：当2kπ<x<2kπ+π（k∈z）时，

有f(x+π)=f(x)，所以f(x)的最小正周期是π。

公式法：∵（2kπ-π，2kπ）∪[2kπ，2kπ+π]=R，（k∈z）

x∈（2kπ-π，2kπ）,sinx<0,x∈[2kπ，2kπ+π],sinx≥0.

∴f(x)=|sinx|==

所以f(x)的最小正周期T==π