Question

如何理解伴随矩阵的秩为0？

Answer 1

AA*=A*A=|A|E

当A的秩为n时，A可逆，A*也可逆，故A*的秩为n；当A的秩为n-1时，根据秩的定义可知，A存在不为0的n-1阶余子式，故A*不等于0，又根据上述公式AA*=0而A的秩小于n-1可知A的任意n-1阶余子式都是0，A*的所有元素都是0，是0矩阵，秩也就是0。

应用：利用伴随矩阵求逆矩阵：

用此方法求逆知阵，对于二阶方阵求逆有规律可循。因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的两个元素变号即可。

如果可逆矩阵是二阶以上矩阵，如N阶矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求N方个代数余子式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错。对于求出的逆炬阵是否正确，一般要通过逆矩阵的定义来检查。