Question

怎么求零点

Answer 1

求零点有解方程法、数形结合法、牛顿法、拉格朗日法等方法。

一、解方程法

零点，是函数f(x)=0时x的取值，在函数图象上即y=f(x)图象与x交点横坐标。所以求函数零点就是令f(x)=0，求函数的根。

例：求f(x)=x^2-x的零点，就是令f(x)=0，即解方程x^2-x=0的根，

x^2-x=0

x(x-1)=0

x=0或1

故x^2-x=0的根为0和1，即f(x)=x^2-x的零点为0和1。

二、数形结合法

零点在函数图象上即y=f(x)图象与x交点横坐标，从函数图像上面观察，其中可以找到y=f(x)图象与x交点横坐标的大致范围，再寻解。

例：求f(x)=|2x−3|+ax−6（a是常数，a∈R），等价于求y=|2x−3|与y=−ax+6图象的交点，可以画图求解，如图：

三、牛顿法

让一个函数的一阶导数为零，求出因变量是一阶导数为零。

例如：函数f(x)=x^2将其进行求导的f′(x)=2x

令f′(x)=0就可以得到原函数的极值点的横坐标，进而求极值。

对于比较复杂的函数我们可以通过微分的数值方法来近似我们需要求解的根，数值方法之一就是Newton法。

该方法的的思想是这样的：取该函数的一点，求其切线方程，令切线方程等于0，得出与x轴坐标的交点，得出该交点的横坐标，求其在原函数上的坐标，再求切线……这样一直迭代，直至交点在指定范围内满足f′(x)=0。

四、拉格朗日法

用到零点存在定理和拉格朗日插值求极值法。