Question

椭圆的标准方程是什么？

Answer 1

可设椭圆方程为

(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a＞b＞0)

两个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)

长轴的两个端点A1(-a，0)，A2(a，0)

因点P在椭圆上，故可设P(acost，bsint)， t∈R。

由两点间距离公式可得

|PF1|²=(acost+c)²+(bsint)²

=a²cos²t+2accost+c²+b²sin²t

=(a²-b²)cos²t+2accost+c²+b²

=c²cos²t+2accost+a²

=(a+ccost)²

由-1≤cost≤1 且a＞c＞0可知

0＜a-c≤a+ccost≤a+c

∴|PF1|=a+ccost

∴| PF1|min=a-c，此时，cost=-1，sint=0，P(-a，0)

又|PF1|+|PF2|=2a

∴当|PF1|min=a-c时，|PF2|max=a+c，

此时点P在长轴的一个端点上。

扩展资料：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

推导：PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点，F为焦点)

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）。

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c，0)，（c，0)。

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c，0）F2(c，0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0，c)

参考资料来源：百度百科--椭圆的标准方程

Answer 2

椭圆的标准方程是什么？

在数学的世界中，几何学占据着举足轻重的地位。从古希腊时代的欧几里得到现代的黎曼，无数伟大的数学家为我们揭示了这个世界的形状与结构。今天我们要探讨的是一个看似简单但却充满奥秘的对象——椭圆。

                                     

• 一、引子

椭圆作为一种平面曲线，在物理学、工程学乃至天文学等领域都有着广泛的应用。生活中我们随处可见它们的身影：从汽车的大灯到飞机的机翼，再到遥远星球的运动轨迹，无处不闪耀着椭圆的光辉。 

• 二、椭圆的定义

椭圆的本质是一个关于两点（即焦点）的性质。我们可以将椭圆定义为这样一个平面曲线：对于曲线上任意一点P以及两个定点F1、F2（称为焦点），满足PF1+PF2=2a（其中a为常数）。换句话说，椭圆上的点到两焦点的距离之和恒等于定值2a。

                                     

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• 三、椭圆的标准方程
  

为了更好地描述椭圆，我们需要引入坐标系。椭圆的标准方程分为两种情况：

当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0)。

当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1 (a>b>0)。

其中，a表示椭圆长轴的半径，b表示椭圆短轴的半径，c表示焦点到椭圆中心的距离，且满足关系a^2 - c^2 = b^2。这些参数和性质在解决与椭圆相关的问题时非常重要。

                                     

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• 四、结论

至此，我们已经展示了椭圆的基本特性及其标准方程。尽管它看起来十分简洁明快，但这背后蕴含着丰富的几何意义和深刻的数理内涵。

椭圆作为一门基础而又深邃的学问，值得我们投入更多的时间和精力去研究。


                                   

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